Question

已知(

1

3

)2x-x2≤3x-2，求函数y=（log₂x+1）（log₂x-2）的最大值和最小值并求出取得最值时对应的x值．

Answer 1

分析：解指数不等式求得 1≤x≤2，令t=log₂x，则0≤t≤1，函数y=（t+1）（t-2），利用二次函数的性质求得函数y的最大值和最小值并求出取得最值时对应的x值．

解答：解：由已知(

1

3

)2x-x2≤3x-2，可得 3x2-2x≤3x-2，故 x²-2x≤x-2，解得 1≤x≤2．
令t=log₂x，则0≤t≤1，函数y=（log₂x+1）（log₂x-2）=（t+1）（t-2），
故当 t=

1

2

时，即x=

2

时，函数y取得最小值为-

9

4

，
当t=0或1时，即x=1或2时，函数y取得最大值为-2．

点评：本题主要考查指数不等式、一元二次不等式的解法，二次函数的性质的应用，属于中档题．