Question

2．直线L：y=mx+1与椭圆C：ax²+y²=2（a＞0）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB．
（1）求证：椭圆C：ax²+y²=2（a＞0）与直线L：y=mx+1总有两个交点．
（2）当a=2时，求点P的轨迹方程；
（3）是否存在直线L，使OAPB为矩形？若存在，求出此时直线L的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线y=mx+1过定点（0，1），且在椭圆的内部，可得结论；
（2）直线y=mx+1过定点（0，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则OP的中点M为（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$），且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，由此能求出点P的轨迹方程．
（3）假设存在直线l，使OAPB为矩形．由于OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，运用韦达定理及点在直线上满足直线方程，化简整理得到的方程，解出m，注意检验判别式是否大于0．

解答 （1）证明：直线y=mx+1过定点（0，1），且在椭圆的内部，
∴椭圆C：ax²+y²=2（a＞0）与直线L：y=mx+1总有两个交点．
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则OP的中点M为（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$），
且有2x₁²+y₁²=2，2x₂²+y₂²=2，
以上两式相减，得k_AB•k_OP=-2，
∴$\frac{\frac{y}{2}-1}{\frac{x}{2}}•\frac{y}{x}$=-2，
∴2x²+y²-2y=0，
点P的轨迹方程为2x²+（y-1）²=1（除去原点）．
（3）解：由直线与椭圆联立，得（a+m²）x²+2mx-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2m}{a+{m}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{1}{a+{m}^{2}}$，
y₁y₂=（mx₁+1）（mx₂+1）=m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=$\frac{a-2{m}^{2}}{a+{m}^{2}}$，
由于OA⊥OB，则有x₁x₂+y₁y₂=0，即为-$\frac{1}{a+{m}^{2}}$+$\frac{a-2{m}^{2}}{a+{m}^{2}}$=0，
解得，a=2m²-1．
检验：判别式△＞0，成立．
故存在直线l：y=±$\sqrt{\frac{a+1}{2}}$（x+1），使OAPB为矩形．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．