Question

已知tan(α+β)=2tanβ,求证:3sinα=sin(α+2β).

Answer 1

思路分析：观察条件与结论间的差异可知:

(1)函数名称的差异是正弦与正切,可考虑切割化弦法化异为同.

(2)角的差异是α+β,β;α,α+2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下:(α+β)-β=α;(α+β)+β=α+2β,由此可化异为同.

证明:由已知tan(α+β)=2tanβ可得

.

∴sin(α+β)·cosβ=2cos(α+β)·sinβ

而sin(α+2β)=sin［(α+β)+β］

=sin(α+β)·cosβ+cos(α+β)·sinβ

=2cos(α+β)·sinβ+cos(α+β)·sinβ

=3cos(α+β)·sinβ.

又sinα=sin［（α+β)-β］

=sin(α+β)·cosβ-cos(α+β)·sinβ

=2cos(α+β)·sinβ-cos(α+β)·sinβ

=cos(α+β)·sinβ

故sin(α+2β)=3sinα.