Question

（2011•大连二模）已知函数f(x)=x+

a

x

+2lnx，g(x)=e2x+e-2x+ex+e-x+k，(a，k∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=8时，若对于?x₁∈[1，4]，?x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，函数的导数，通过a≤0，a＞0分别判断导数的符号，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于?x₁∈[1，4]，总?x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成转化为f（x）_min≥g（x）_min根据（Ⅰ）的结论，当a=8时，f（x）_min=f（2）
设e^x+e^-x=t，设?（t）=g（x），判断是单调递增函数，g（x）_min=?（t）_min，求出实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

x2+2x-a

x2

．（1分）
当a≤0时，显然f′（x）＞0，此时f（x）的单调增区间为（0，+∞）．（3分）
当a＞0时，f′（x）=0得解为x1=-1-

1+a

（舍去），x2=-1+

1+a

．
所以f（x）的单调减区间为 (0，-1+

1+a

)，
单调增区间为(-1+

1+a

，+∞)．（5分）
（Ⅱ）对于?x₁∈[1，4]，总?x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立?f（x）_min≥g（x）_min．（7分）
根据（Ⅰ）的结论，当a=8时，f′（x）=0，得x=2．

x	1	（1，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	9	单调递减	f（x）极小值=6+2ln2	单调递增	6+2ln4

在x∈[1，4]上f（x）_min=f（2）=6+2ln2．（9分）
设e^x+e^-x=t，则e^2x+e^-2x=t²-2，
设?（t）=g（x）=t²+t+k-2（t≥2），?(t)=(t+

1

2

)2+k-

9

4

(t≥2)是单调递增函数，
所以g（x）_min=?（t）_min=g（2）=4+k．（11分）
故4+k≤6+2ln2，得k≤2+2ln2．（12分）

点评：本题是中档题，考查函数的导数的应用，分类讨论数学思想，转化思想，考查计算能力．