Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）椭圆方程可设为，利用两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），与椭圆方程联立，再利用韦达定理．根据以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形等价于，即，由此可确定m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴．    
∴所求椭圆方程为．    （4分）
（Ⅱ）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．
因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由 可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
∴．．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形等价于，即
∴（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0
∴（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0
∴
∴2k²-（2+4k²）m=0
∴．
∴
∵
∴．  （12分）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确构建函数是关键．