Question

【题目】某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米，最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．

（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；

（2）此人到直线EC的距离为多少米时，视角θ最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）此人到直线EC的距离为6米时，视角θ最大．

【解析】试题分析：

（1）延长交于，即为所求，只要求得即可，这在中可求；

（2）作于，则，求出这两个角的正切值，由两角差的正切公式求出，最后由基本不等式可求得最大值．

试题解析：

（1）作MG⊥CE交于点G，作NH⊥AC交于H，则CH＝GM＝x．

在Rt△BAC中，因为AB＝4，AC＝8，所以tan∠BCA＝，

所以NH＝CH·tan∠BCA＝，

所以MH＝MN＋NH＝．

（2）因为MH＝GC，

所以DG＝DC－GC＝DC－MH＝5－，

EG＝EC－GC＝EC－MH＝9－．

在Rt△DGM中，tan∠DMG＝＝，

在Rt△EGM中，tan∠EMG＝＝，

所以tanθ＝tan∠EMD＝tan(∠EMG－∠DMG)

＝＝

＝

＝（0＜x≤8）．

由x＞0，得5x＞0，＞0，所以5x－28＋≥2－28＝32，

所以tanθ＝≤．

当且仅当5x＝，即x＝6时取“＝”，且6∈(0，8]．

因为y＝tanθ在区间(0，)上是单调增函数，

所以当x＝6米时，tanθ取最大值，此时视角θ取最大值．

答：此人到直线EC的距离为6米时，视角θ最大．