Question

（12分）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，FEAD，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=2，点G为AC的中点．

（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取AB的中点M，连FM，GM，要证EG∥平面ABF，只要证EG∥FM，可从证明四边形GMFE为平行四边形入手；

（Ⅱ）因为，在平面ADEF内作EN⊥AD，垂足为N，可以证明EN⊥面ABCD，即EN为三棱锥E﹣ABG的高，再根据题设求出EN及三角形ABG的面积即可.

试题解析：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，连FM，GM，

∵G为对角线AC的中点，

∴GM∥AD，且GM=AD，

∵EF∥AD，

∴MG∥EF，且EF=GM，

∴四边形GMFE为平行四边形，

∴EG∥FM，

∴EG∥平面ABF．

（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥面AEFD，面ABCD∩面AEFD=AD，

∴EN⊥面ABCD，即EN为三棱锥E﹣ABG的高，

∵在△AEF中，AF=FB，∠AFE=60°，

∴△AEF是正三角形，

∴∠AEF=60°，

由EF∥AD，知∠EAD=60°，

∴EN=AEsin60°=，

MG=AD=EF=2，

∴S△ABG=×2×2=2，

∴三棱锥B﹣AEG的体积为：×2×=．

考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间几何体的体积.