Question

已知函数f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的最大值与最小值之和为

3

，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式先利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并后再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值及最小值，让其和等于

3

列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx+a
=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

+cosx+a
=

3

sinx+cosx+a=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）+a=2sin（x+

π

6

）+a，（4分）
∴函数f（x）的最小正周期T=2π；（6分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴-

π

3

≤x+

π

6

≤

2π

3

，
∴当x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

2

时，f（x）的最小值=f（-

π

2

）=-

3

+a，（8分）
当x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）的最大值=f（

π

3

）=2+a，（10分）
由题意，有（-

3

+a）+（2+a）=

3

，
∴a=

3

-1．（12分）

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期及其求法，以及三角函数的最值．熟练运用三角函数的恒等变换公式把f（x）化为一个角的正弦函数是解本题的关键．