Question

【题目】已知椭圆C：(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F1(﹣1，0)，F2(1，0)，椭圆离心率为，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A在B的左侧）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若B是AP的中点，求直线l的方程；

（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或；

（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据交点坐标和离心率可求得，根据可求得椭圆方程；（2）设，根据中点坐标公式可得；代入椭圆方程求得点坐标，进而得到直线斜率，利用点斜式方程可求得结果；（3）设，，则，设所求定点，根据三点共线斜率相等可构造等式求得，利用韦达定理表示出后可整理化简得到，从而证得结论.

（1）由焦点坐标可知：

又椭圆离心率

椭圆方程为：

（2）设

是中点，

都在椭圆上 ，解得：或

或 或

直线方程为：

即：或

（3）设，，则

设为直线与轴的交点，且

三点共线 ，解得：

设直线方程为：，

则，

联立，化简得：

，

则

直线与轴相交于定点