Question

【题目】已知直线：交双曲线：于，两点，过作直线的垂线交双曲线于点．若，则双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

联立直线xy和双曲线方程可得A，B的坐标，以及|AB|，直角三角形的性质可得|AC||AB|，设出直线AC的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a＝b，进而得到所求离心率．

联立直线xy和双曲线方程可得

x2，y2，

可设A（，），

可得|AB|＝2|OA|，

在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，

可得|AC||AB|，

设直线AC的方程为yx，

代入双曲线方程可得（b2﹣3a2）x2x﹣a2b20，

可得xC，

即有|xC﹣xA|＝||

，

可得|AC|＝2，

即为a2+b2＝|b2﹣3a2|，

可得a＝b，e．

故选：A．