Question

【题目】已知函数 ，（为自然对数的底数）

（I）若在上单调递减，求的最大值；

（Ⅱ）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（I）2；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意得对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立，由，得，然后再验证时成立即可得到所求．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得当时，单调递减，且， 故当时，，整理得．然后再证明成立，最后将两不等式相加可得所证不等式．

（Ⅰ）由，得．

∵在上单调递减，

∴对恒成立，

即对恒成立，

设，则对于恒成立.

则，

∴，

当时，，且单调递增， ，

∴当，，单调递减；当，，单调递增．

∴，即恒成立，

∴的最大值为2．

（Ⅱ）当时，单调递减，且，

当时，，即，

∴，

∴， ①

下面证明， ②

令，则，

∴在区间上单调递增，

∴，故②成立．

由①+②得成立．