Question

【题目】已知是函数的极值点.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.

（参考数据：，，其中为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明

【解析】

(Ⅰ)根据，求得实数的值，通过导数验证函数单调，可知时极值点为，满足题意；

(Ⅱ)由(Ⅰ) 函数的极小点值位于 ，此时的零点位于，且此为的极小点值点，代入，中，化简即可得到关于的二次函数，求解二次函数在区间上的值域即可证明结论。

解：(Ⅰ)因为，且 是极值点，

所以，所以 .

此时 ，设 ，则 .

则当 时， 为减函数.

又，

所以在时， ， 为增函数； 时， ，为减函数.所以为的极大值点，符合题意.

（Ⅱ）当 时，，为增函数，且 ，

所以存在 当 时， ，为减函数； 时， ， 为增函数，所以函数存在唯一的极小值点 .

又 ，已知 ，可得 ，

所以，所以 ，

且满足 .

所以 .

其中也可以用如下方式证明：

，设 ，

则.

则当 时， ，为减函数；当 时，， 为增函数.

所以

所以在 ，所以