Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于两点，且 ，求面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出AB，得到a，然后求解b，即可得到椭圆方程;（2）当直线AB的斜率不存在时，求解三角形面积，设直线CD的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．由消去y整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，△＞0，设C（x1，y1），D（x2，y2），利用弦长公式求解CD，然后求解三角形面积，推出范围即可．

（1）当点的坐标为时，，所以．

由对称性，，

所以，得

将点代入椭圆方程 中，解得，

所以椭圆方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，

此时．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由消去整理得：． 显然，

设，则

故

．

因为 ，所以，

所以点到直线的距离即为点到直线的距离，

所以

，

因为，所以，

所以．综上，．