Question

11．函数f（x）=e^ax-$\frac{1}{a}$lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 0＜a≤$\frac{1}{e}$
• B． 0＜a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$
• C． a≥$\frac{1}{e}$
• D． a≥$\frac{1}{{e}^{2}}$

Answer 1

分析 先考虑函数f（x）=a^x与g（x）=log_ax（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值，再利用换元法，即可得出结论．

解答 解：先考虑函数f（x）=a^x与g（x）=log_ax（a＞1）图象仅有一个交点，
且在公共点处有公共的切线，a的值．
两函数互为反函数，则该切线即为y=x，设切点A，
可求出A（e，e），此时a=e${\;}^{\frac{1}{e}}$．
若a＞e${\;}^{\frac{1}{e}}$时，则f（x）=a^x与g（x）=log_ax（a＞1）无公共点；
若1＜a＜e${\;}^{\frac{1}{e}}$时，则f（x）=a^x与g（x）=log_ax（a＞1）有两个公共点．
对f（x）=e^ax-$\frac{1}{a}$lnx（a＞0），换元令t=e^a，即得t^x=log_tx，
由上知1＜e^a=t≤e${\;}^{\frac{1}{e}}$，得0＜a≤$\frac{1}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生转化问题的能力，属于中档题．