Question

6．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由；
（2）证明：g（x）=（$\frac{1}{4}$）^x是T倍周期函数，且T的值是唯一的；
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n=$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{2n-1}}$，求$\underset{lim}{n→∞}$C_n．

Answer 1

分析 （1）假设设h（x+T）=T•h（x）进而得出结论；
（2）通过设g（x+T）=T•g（x）并令x=0可知T=$\frac{1}{2}$，分T＞$\frac{1}{2}$、T＜$\frac{1}{2}$两种情况证明唯一性即可；
（3）利用f（n+2）=2•f（n）及f（1）=1、f（2）=-4分别计算出n为奇数、偶数时的值，进而利用等比数列的求和公式计算可知S_2n=-3（2ⁿ-1）、S_2n-1=-2ⁿ+3，计算即得结论．

解答 （1）结论：h（x）=x不是T倍周期函数．
理由如下：
依题意，设h（x+T）=T•h（x），则x+T=T•x对任意x恒成立，
∵T无解，
∴h（x）=x不是T倍周期函数；
（2）证明：设g（x+T）=T•g（x），则$（\frac{1}{4}）^{x+T}$=T•$（\frac{1}{4}）^{x}$对任意x恒成立，
令x=0，得$（\frac{1}{4}）^{T}$=T，即T=$\frac{1}{2}$；
下证唯一性：
若T＞$\frac{1}{2}$，T=$（\frac{1}{4}）^{T}$＜$（\frac{1}{4}）^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，矛盾；
若T＜$\frac{1}{2}$，T=$（\frac{1}{4}）^{T}$＞$（\frac{1}{4}）^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，矛盾；
∴T=$\frac{1}{2}$是唯一的；
（3）解：依题意，f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，
f（5）=f（3+2）=2f（3）=2²，
f（7）=f（5+2）=2f（5）=2³，
…
f（2n-1）=f（2n-3+2）=2f（2n-3）=2^n-1，
∴f（1）+f（3）+…f（2n-1）=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，
同理可得：f（2）+f（4）+…+f（2n）=-4（1+2+2²+…+2^n-1）=-4（2ⁿ-1），
∴S_2n=f（1）+f（2）+…+f（2n）=-3（2ⁿ-1），
同理S_2n-1=f（1）+f（2）+…+f（2n-1）=-2ⁿ+3，
∴$\underset{lim}{n→∞}$C_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{2n-1}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3（{2}^{n}-1）}{{2}^{n}-3}$=3．

点评 本题考查数列的求和与极限，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．