Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率e满足3， 

1

e

， 

4

9

成等比数列，且椭圆上的点到焦点的最短距离为2-

3

．过点（2，0）作直线l交椭圆于点A，B．
（1）若AB的中点C在y=4x（x≠0）上，求直线l的方程；
（2）设椭圆中心为，问是否存在直线l，使得的面积满足2S_△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）

e2= c2 a2 = 3 4 a-c=2- 3

…（2分），
∴

a=2 c= 3

椭圆方程：

y2

4

+x2=1…（4分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为C（x₀，y₀），
则有：

y 21 4 + x 21 =1 y 22 4 + x 22 =1

?

(y1-y2)(y1+y2)

4

+(x1-x2)(x1+x2)=0
?

x0

1

+

y0

4

×k=0?k=-

4x0

y0

=-1
∴直线l的方程为y=-x+2…（6分），经检验y=-x+2适合题意．…（6分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）
代入椭圆方程可得：

x1+x2= 4k2 k2+4 x1•x2= 4k2-4 k2+4

…（9分）
2S_△AOB=|OA|•|OB|?x₁x₂+y₁y₂=0?（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，…（11分），
经检验y=±

1

2

(x-2)适合题意…（12分）