题目内容

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（
3
c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
（1）设⊙M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得
c2-Ec+F=0
c2+Ec+F=0
3c2+
3
Dc+F=0

解得
D=-
2
3
3
c
E=0
F=-c2

⊙M的方程为x2+y2-
2
3
3
cx-c2=0，
⊙M的标准方程为(x-
3
3
c)2+y2=
4
3
c2；（5分）
（2）⊙M与x轴的两个交点A(
3
c，0)，C(-
3
3
c，0)，
又B（b，0），D（-b，0），
由题设
3
c＞b
-
3
3
c＞-b
即
3
c＞b
3
3
c＜b

所以
3c2＞a2-c2
1
3
c2＜a2-c2
解得
1
2
＜
c
a
＜
3
2
，
即
1
2
＜e＜
3
2
．所以椭圆离心率的取值范围为(
1
2
，
3
2
)；（10分）
（3）由（1），得M(
3
3
c，0)．
由题设，得
3
c-b=b-
3
3
c=
3
3
c．
∴b=
2
3
3
c，D(-
2
3
3
c，0)．
∴直线MF1的方程为
x
3
3
c
-
y
c
=1，
①直线DF2的方程为-
x
2
3
3
c
+
y
c
=1．
②由①②，得直线MF1与直线DF2的交点Q(
4
3
3
c，3c)，
易知kOQ=
3
3
4
为定值，
∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线y=
3
3
4
x上．（15分）
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，“方程
x2
k-1
+
y2
k-3
=1表示焦点在x轴上的双曲线”的充要条件是k∈
 
．
在平面直角坐标系xOy中，Pn（n，n2）（n∈N+）是抛物线y=x2上的点，△OPnPn+1的面积为Sn．
（1）求Sn；
（2）化简
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（3）试证明S1+S2+…+Sn=
n(n+1)(n+2)
6
．
已知平面直角坐标系xOy中，A(4+2
3
，2)，B(4，4)，圆C是△OAB的外接圆．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点（2，6）的直线l被圆C所截得的弦长为4
3
，求直线l的方程．
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：
x=-2+
3
5
t
y=2+
4
5
t
（t为参数），它与曲线C：（y-2）2-x2=1交于A，B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(2
2
，
3π
4
)，求点P到线段AB中点M的距离．
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