Question

设A_n={

1

2

，

3

4

，

5

8

，…，

2n-1

2n

}（n∈N^*，n≥2），A_n的所有非空子集中的最小元素的和为S，则S=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当n=2时，列举出A_n的所有非空子集，求出S；当n=3时，列举出A_n的所有非空子集，求出S；当n≥4时，分别求出最小值为

2n-1

2n

、

2n-3

2n-1

、…、

7

16

、

5

8

、

3

4

、

1

2

时对应用于最小元素和，把这些和相加得到S的表达式，再进行分类讨论，能求出结果．

解答： 解：由题设知：
当n=2时，A_n的所有非空子集为：{

1

2

，

3

4

}，{

1

2

}，{

3

4

}，
∴S=

1

2

×2+

3

4

=

7

4

；
当n=3时，A_n的所有非空子集为：{

1

2

，

3

4

，

5

8

}，{

1

2

，

3

4

}，{

1

2

，

5

8

}，{

3

4

，

5

8

}，
{

1

2

}，{

3

4

}，{

5

8

}，
∴S=

1

2

×4+

3

4

×2+

5

8

=4；
当n≥4时，当最小值为

2n-1

2n

时，每个元素都有有或无两种情况，
共有n-1个元素，共有2^n-1-1个非空子集，
S1=

2n-1

2n

×2n-1=

2n-1

2

；
当最小值为

2n-3

2n-1

，不含

2n-1

2n

，含

2n-3

2n-1

，
共n-2个元素，有2^n-2个非空子集，
S2=

2n-3

2n-1

×2n-2=

2n-3

2

；
当最小值为

7

16

时，S_n-3=

7

24

×23=

7

2

；
当最小值为

1

2

时，Sn-2=

1

2

×4=2；
当最小值为

5

8

时，S_n-1=

5

8

×2=

5

4

；
当最小值为

3

4

时，Sn=

3

4

．
∴S=S₁+S₂+S₃+…+S_n
=

2n-1

2

+

2n-3

2

+…+

7

2

+2+

5

4

+

3

4

=

(2n-1)+(2n-3)+…+7

2

+4
=

n2-1

2

．
当n=3时，符合；当n=2时不符合．
∴S=

7 4 ，n=2 n2-1 2 ，n≥3，n∈N*

．
故答案为：

7 4 ，n=2 n2-1 2 ，n≥3，n∈N*

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．