Question

已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数试判断函数在上的符号,并证明:
（）．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） （Ⅲ）见解析.

试题分析：（Ⅰ）由已知在处的切线与直线平行，得且有两个不等实根，从而得出的范围；（Ⅱ）先由导函数得出函数的单调性，确定函数的极小值点，然后由函数的极小值为1得出存在的值；（Ⅲ）先确定的单调性，在上是增函数，故，构造，分别取的值为1、2、3、 、累加即可得证.
试题解析：（Ⅰ）
  由题意
          ①        （1分）

    ②
由①、②可得，
故实数a的取值范围是         （3分）
（Ⅱ）存在               （5分）
由（1）可知，
，且

	+	0	－	0	+
	单调增	极大值	单调减	极小值	单调增

，
.                  （6分）
             （7分）   

的极小值为1.           （8分）   
（Ⅲ）由

即
故，
则在上是增函数，故，
所以，在上恒为正。.           （10分）
（注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）
当时，，设，则


即：.           （12分）   
上式分别取的值为1、2、3、 、累加得：

，（）
，（）
，（）
，（）
即，，（），当时也成立    （14分）