Question

14．正四面体侧面与底面所成二面角的余值$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 不妨设正四面体为A-BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=$\sqrt{3}$，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解

解答 解：不妨设正四面体为A-BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=$\sqrt{3}$，
且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．
   在△ABE中，cos∠AEB=$\frac{A{E}^{2}+B{E}^{2}-A{B}^{2}}{2AE•BE}=\frac{1}{3}$，
∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEB即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．属于中档题