Question

18．已知抛物线C：y²=2x与直线x=2交于A、B两点且点A在第一象限，过线段AB上任一点N作直线l交抛物线C于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）两点．设直线AC斜率为k₁，直线BD斜率为k₂，且$\frac{3}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=2．
（Ⅰ）求证：y₂=-3y₁；
（Ⅱ）求线段|CD|长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出k₁，k₂，利用$\frac{3}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=2，证明y₂=-3y₁；
（Ⅱ）设直线l为x=ty+b，代入：y²=2x，求出y₂=3t，y₁=-t，b=$\frac{3{t}^{2}}{2}$，再求求线段|CD|长的取值范围．

解答 （Ⅰ）证明：由题意，A（2，2），B（2，-2），则k₁=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-2}$=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$，
同理k₂=$\frac{2}{{y}_{2}-2}$，
∵$\frac{3}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=2，
∴$\frac{3}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{3（{y}_{1}+2）}{2}$+$\frac{{y}_{2}-2}{2}$=2，
∴y₂=-3y₁；
（（Ⅱ）解：设直线l为x=ty+b，代入：y²=2x得y²-2ty-2b=0，
y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2b，
∵y₂=-3y₁，
∴y₂=3t，y₁=-t，b=$\frac{3{t}^{2}}{2}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y₁-y₂|=4$\sqrt{{t}^{4}+{t}^{2}}$，
∵x=ty+b与线段AB的交点N（2，$\frac{2-\frac{3{t}^{2}}{2}}{t}$），
∴-2＜$\frac{2-\frac{3{t}^{2}}{2}}{t}$＜2m
∴-2＜t＜-$\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}$＜t＜2，
∴$\frac{4}{9}$＜t²＜4，
∴线段|CD|长的取值范围是（$\frac{8\sqrt{13}}{9}$，8$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．