Question

已知函数。
（1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）当时，
设且，由是上的增函数，则      2分
                    3分
由，知，所以，即      5分
（2）当时，在上恒成立，即      6分
因为，当即时取等号，                      8分
，所以在上的最小值为。则        10分
（3）因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且        11分
①若
当时，是上的增函数，则，
所以方程在上有两不等实根，
即在上有两不等实根，所以
，即且                            13分
当时，在上递减，则，即
，所以                                   14分
②若
当时，是上的减函数，所以，即
，所以                                     15分