Question

19．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2a-1）x+3a，x＜1\\{a^x}，x≥1\end{array}$满足对任意x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立，那么a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$
• D． $[\frac{1}{4}，1）$

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在R上为减函数，分别考虑各段的单调性，可得2a-1＜0，0＜a＜1，注意x=1处的情况，可得2a-1+3a≥a，求交集即可得到所求范围．

解答 解：对任意x₁≠x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立，
即有f（x）在R上为减函数，
当x＜1时，y=（2a-1）x+3a，递减，即有
2a-1＜0，解得a＜$\frac{1}{2}$，①
当x＞1时，y=a^x递减，即有0＜a＜1，②
由于x∈R，f（x）递减，即有2a-1+3a≥a，
解得a≥$\frac{1}{4}$，③
由①②③，可得$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{2}$．
故选C．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，注意定义的运用，属于中档题和易错题．