Question

8．椭圆$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点为F₁，F₂，点P是椭圆上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P的横坐标的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{65}}}{3}，\frac{{\sqrt{65}}}{3}）$．

Answer 1

分析 设P（x，y），则$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$，可得y²=4$（1-\frac{{x}^{2}}{13}）$．由于∠F₁PF₂为钝角，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，解出即可．

解答 解：由椭圆的标准方程可得：a²=13，b=2，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3．
F₁（-3，0），F₂（3，0）．
设P（x，y），则$\frac{x^2}{13}+\frac{y^2}{4}=1$，
∴y²=4$（1-\frac{{x}^{2}}{13}）$．
∵∠F₁PF₂为钝角，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（x+3，y）•（x-3，y）=x²-9+y²＜0，
∴x²-9+4$（1-\frac{{x}^{2}}{13}）$＜0．
化为x²$＜\frac{65}{9}$，
解得$-\frac{\sqrt{65}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{65}}{3}$．
∴点P的横坐标的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{65}}}{3}，\frac{{\sqrt{65}}}{3}）$，
故答案为：$（-\frac{{\sqrt{65}}}{3}，\frac{{\sqrt{65}}}{3}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量夹角公式与数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．