Question

是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

解　由f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，显然成立；

(2)假设n＝k(k∈N^*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3^k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3^k＋1＋9＝(2k＋7)·3^k＋1＋27－27＋2·3^k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3^k＋9]＋18(3^k－1－1)，

由于3^k－1－1是2的倍数，故18(3^k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．

由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3ⁿ＋9能被36整除，m的最大值为36.