Question

（本小题满分16分）

高  已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，求数列的通项公式；

（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与 之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列 的前m项的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）∵，∴，∴，

∴，∴，       …………………………………4分

∵，∴，∴

∴，∴数列为等比数列．

（2）由（1）知，∴           ……………………………8分

又∵，∴，∴，∴       ……………………………10分

（3）由（2）得，即，

   数列中，（含项）前的所有项的和是：

   …………………12分

当k=10 时，其和是

当k=11 时，其和是

又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数       ………………………………14分

所以当时，，

所以存在m=988使得              ……………………………………16分