Question

已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【解析】（1）由题意，c=1

∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=

∴b²=a²﹣c²=1，

∴椭圆C的标准方程为；

（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立

当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①

当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴

∴m=或m=②

由①②可得m=．

下面证明m=时，恒成立

当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

直线方程代入椭圆方程，整理可得（t²+2）y²+2ty﹣1=0，∴y₁+y₂=﹣，y₁y₂=﹣

∴=（x₁﹣，y₁）•（x₂﹣，y₂）=（ty₁﹣）（ty₂﹣）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂﹣t（y₁+y₂）+=+=﹣

综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立.