Question

14．已知在△ABC中，∠B=90°，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥C′-ABDE（如图）．

（Ⅰ）求证：DE⊥平面BC′D；
（Ⅱ）设平面C′DE∩平面ABC′=l，求证：AB∥l；
（Ⅲ）若C′D⊥BD，AB=2，BD=3，F为棱BC′上一点，设$\frac{BF}{FC'}=λ$，当λ为何值时，三棱锥C′-ADF的体积是1？

Answer 1

分析 （I）由DE∥AB，AB⊥BC可知DE⊥BC，故翻折后DE⊥BD，DE⊥C′D，得出DE⊥平面BC′D；
（II）由DE∥AB可知AB∥平面C′DE，由线面平行的性质即可得到AB∥l；
（III）V_C′-ADF=V_A-DC′F=$\frac{1}{3}{S}_{△C′DF}•AB$，当C′D⊥BD时，∠DC′F=45°，BC′=3$\sqrt{2}$，代入体积公式计算C′F，从而得出λ的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵∠B=90°，D，E分别为BC，AC的中点
∴DE∥AB，
∴C'D⊥DE，BD⊥DE，又∵C'D∩BD=D，
∴DE⊥平面BC'D，
（Ⅱ）∵DE∥AB，DE?面C'DE，AB?面C'DE，
∴AB∥面C'DE，
又∵AB?面ABC'，面ABC'∩面C'DE=l，
∴AB∥l．
解：（III）∵DE⊥平面BC′D，DE∥AB，
∴AB⊥平面BC′D，
∴V_C′-ADF=V_A-DC′F=$\frac{1}{3}{S}_{△C′DF}•AB$=1，
∴S_△C′DF=$\frac{3}{2}$．
∵C′D⊥BD，C′D=BD=3，∴∠DC′B=45°，C′B=3$\sqrt{2}$．
∴S_△C′DF=$\frac{1}{2}×C′D×C′F×sin45°$=$\frac{3}{2}$．
解得C′F=$\sqrt{2}$，∴BF=BC′-C′F=2$\sqrt{2}$．
∴λ=$\frac{BF}{FC′}$=2．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．