Question

 

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC₁、AB、BC的中点，且.

（Ⅰ）求证：CN∥平面AMB₁；

（Ⅱ）求证： B₁M⊥平面AMG.

 

Answer 1

【答案】

见解析.

【解析】第一问中，利用线面平行的判定定理，可以知道CNPM是平行四边形∴CN∥MP，因此得到证明，第二问中，要证明垂直，因为∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，

    ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁ B₁ B，∴B₁M⊥AG设：AC=2a，则

同理，即可以证明。

 

解：(Ⅰ)设AB₁ 的中点为P，连结NP、MP ………………………1分

∵CM   ，NP   ，∴CM       NP， …………2分

∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP  …………………………3分

∵CN⊥平面AMB₁，MP//  平面AMB₁，∴CN∥平面AMB₁…4分

(Ⅱ)∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，

    ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁ B₁ B，∴B₁M⊥AG………………6分

∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁⊥B₁ C，   第20题图

设：AC=2a，则

…………………………………………8分

同理，………………………………………………………………………9分

∵ BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AB，

……………………………………………………10分

 …………………………………………………12分