题目内容
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以
表示．
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求
的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当
时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为
，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）分布列详见解析，期望
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据甲乙平均成绩相等列等式，得
，可求
的值为1；（Ⅱ）因为的取值具有随机性，故
，有10种可能，而乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能，故所求事件的概率为
；（Ⅲ）从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有
种，分别计算每组两名同学数学成绩之差的绝对值，以确定
的取值，并分别求取相应值的概率，写出分布列并求期望.
试题解析：（Ⅰ）解：依题意，得 ，解得 .
（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件
，依题意 ，共有10种可能.
由（Ⅰ）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当
时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．
（Ⅲ）解：当
时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：
，
，
，
，
，
，，，
则这两名同学成绩之差的绝对值
的所有取值为
.
因此
，
，
，
，
.
所以随机变量的分布列为：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
|
所以的数学期望
．
考点：1、平均数；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列和期望.
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