Question

某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线，在抛物线上任意画一个点，度量点的坐标，如图．

（Ⅰ）拖动点，发现当时，，试求抛物线的方程；
（Ⅱ）设抛物线的顶点为，焦点为，构造直线交抛物线于不同两点、，构造直线、分别交准线于、两点，构造直线、．经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点，恒有.请你证明这一结论．
（Ⅲ）为进一步研究该抛物线的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点”改变为其它“定点”，其余条件不变，发现“与不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）设出直线方程，点的坐标，联立方程组证明，所以
（Ⅲ）设抛物线的顶点为，定点，过点的直线与抛物线相交于、两点，直线、分别交直线于、两点，则

试题分析：解法一：（Ⅰ）把，代入，得，          2分
所以，                                                                3分
因此，抛物线的方程．                                              4分
（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，
依题意可设直线，
由得，则 ①                      6分
又因为，，所以，，
所以，，                         7分
又因为                                   8分


，  ②
把①代入②，得，                                   10分
即，
所以，
又因为、、、四点不共线，所以．                        11分
（Ⅲ）设抛物线的顶点为，定点，过点的直线与抛物线相交于、两点，直线、分别交直线于、两点，则 ．                                                             14分
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，                5分
依题意,可设直线，
由得，
则
所以                                                         7分
又因为，，
所以，，                                            10分
所以，，  
又因为、、、四点不共线，所以.                          11分
（Ⅲ）同解法一.                                                            14分
解法三：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为抛物线的焦点为，设，
依题意，设直线，
由得，则，                         6分
又因为，，所以，，
又因为，                9分
所以，所以平行于轴；
同理可证平行于轴；
又因为、、、四点不共线，所以.                         11分
（Ⅲ）同解法一.                                                           14分
点评：圆锥曲线问题在高考中每年必考，且一般出在压轴题的位置上，难度较低，主要考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等。