题目内容
【题目】如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为
的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为
，
.
（1）求关于
的函数关系式；
（2）定义比值
为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角满足：
时，招贴画最优美.
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析
【解析】
（1）分类
时，点P在线段OG上，当
时，点P在线段GH上，当 
时，
.求出半径
后可得弦长；
（2）由（1）的分类讨论求得
.
，令
，用导数的知识求它的最大值即可得．
解：（1）当时，点P在线段OG上，
；
当时，点P在线段GH上，
；
当 时，. 综上所述，，.
所以，弧AD的长
，故所求函数关系式为，.
（2）当时，
；
当时，
；
当 时，
.所以，
，.
从而，.
记，. 则
.
令
，得
. 因为，所以
，
从而
， 显然
，所以
.
记满足
的
，下面证明
是函数
的极值点.
设
，.则
在上恒成立， 从而
在上单调递减，所以，当
时，
，即
，在
上单调递增；当
时，
，即
，在
上单调递减.
故 在处取得极大值，也是最大值.
所以，当
满足时，函数即
取得最大值，此时招贴画最优美.
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