Question

【题目】管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.

（1）请用角表示清洁棒的长；

（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；

（2）利用导数求得最大值即可.

（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，

，所以，同理，

.

（2）设，

则，

令，则，即.

设，且，则

当时，，所以单调递减；

当时，，所以单调递增，

所以当时，取得极小值，

所以.

因为，所以，又，

所以，又，

所以，所以，

所以，

所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.