Question

【题目】已知函数.

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，有两个不同的零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，根据函数单调性得到，解得答案.

（2）要证明，只需要证明，设，求导得到单调性，得到，得到证明.

（1）由已知得函数的定义域为，且，

当时，，在上单调递增，

且当时，，不合题意；

当时，由得，

所以在上单调递减，在上单调递增，在处取到极小值，也是最小值，由题意，恒成立，

令，，在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，即.

（2），且在处取到极小值1，

又时，，时，，故且，

要证明：，只需证明，又，

故只需证明：，即证：，

即证：，即证：，

设，则，

因为，所以，由（1）知恒成立，

所以，即，

所以在上为增函数，所以，即命题成立.