题目内容

已知f(x)=,a≠b,

求证：|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

证明略


解析:

方法一  ∵f(a)=,f(b)= ,

∴原不等式化为|-|＜|a-b|.

∵|-|≥0，|a-b|≥0，

∴要证|-|＜|a-b|成立,

只需证（-）2＜(a-b)2.

即证1+a2+1+b2-2＜a2-2ab+b2,

即证2+a2+b2-2＜a2-2ab+b2.

只需证2+2ab＜2，

即证1+ab＜.

当1+ab＜0时，∵＞0,

∴不等式1+ab＜成立.

从而原不等式成立.

当1+ab≥0时，要证1+ab＜,

只需证(1+ab)2＜（）2,

即证1+2ab+a2b2＜1+a2+b2+a2b2,即证2ab＜a2+b2.

∵a≠b,∴不等式2ab＜a2+b2成立.∴原不等式成立.

方法二  ∵|f（a）-f（b）|=|-|

==，

又∵|a+b|≤|a|+|b|=+＜+，

∴＜1.

∵a≠b,∴|a-b|＞0.∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

练习册系列答案
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已知f(x)=
a
•
b
-1，其中向量
a
=(sin2x，2cosx)，
b
=(
3
，cosx)，（x∈R）．
（1） 求f（x）的最小正周期和最小值；
（2） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(
A
4
)=
3
，a=2
13
，b=8，求边长c的值．
设
a
=(
3
cos2ωx，sinωx)，
b
=(1，cosωx)（其中ω＞0），已知f(x)=
a
•
b
-
3
2
且f（x）最小正周期为2π
（1）求ω的值及y=f（x）的表达式；
（2）设a∈(
π
6
，
2π
3
)，β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，f(α)=
3
5
，f(β)=-
4
5
求cos（α-β）的值．
已知f(x)=
a-bx
x-a-1
的图象的对称中心是（3，-1），则f（sinx）的值域为
[-
3
4
，-
1
2
]
[-
3
4
，-
1
2
]
．
已知f(x)=a-
22x+1
(x∈R)是奇函数，则lna=
0
0
．
（2012•资阳一模）已知f(x)=
a+4x，x≥1
x2-1
x-1
，x＜1
，在x=1处连续，则常数a=
-2
-2
．

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