题目内容
设
=(
cos2ωx，sinωx)，
=(1，cosωx)（其中ω＞0），已知f(x)=
•
-
且f（x）最小正周期为2π
（1）求ω的值及y=f（x）的表达式；
（2）设a∈(
，
)，β∈(-
，-
)，f(α)=
，f(β)=-
求cos（α-β）的值．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
（1）求ω的值及y=f（x）的表达式；
（2）设a∈(
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简 f(x)=
•
-
的解析式为 sin（2ωx+
），再由ω＞0，T=
=2π，求得ω的值，即可求得f（x）的解析式．
（2）根据角的范围以及同角三角函数的基本关系求出cos（α+
）、cos（β+
），由cos（α-β）=cos[（α+
）-（β+
）]利用两角和差的余弦公式求出结果．
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 2ω |
（2）根据角的范围以及同角三角函数的基本关系求出cos（α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵已知f(x)=
•
-
=
cos2ωx+sinωx•cosωx-
=
sin2ωx+
cosωx=sin（2ωx+
）．
∵ω＞0，T=
=2π，ω=
，
∴f（x）=sin（x+
）．
（2）∵f（α）=
，∴sin（α+
）=
．
∵α∈（
，
），∴α+
∈（
，π），cos（α+
）=-
．
再由f（β）=-
，可得sin（β+
）=-
．再由β∈（-
，-
），可得β+
∈（-
，0），
∴cos（β+
）=
．
∴cos（α-β）=cos[（α+
）-（β+
）]=cos（α+
）cos（β+
）-sin（α+
）•sin（β+
）=（-
）•（
）+（
）•（-
）=-
．
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵ω＞0，T=
| 2π |
| 2ω |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）=sin（x+
| π |
| 3 |
（2）∵f（α）=
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∵α∈（
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
再由f（β）=-
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴cos（β+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴cos（α-β）=cos[（α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
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