Question

【题目】已知圆，设点为圆与轴负半轴的交点，点为圆上一点，且满足的中点在轴上.

（1）当变化时，求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，、为曲线上两个不同的点，且在、两点处的切线的交点在直线上，证明：直线过定点，并求此定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标为.

【解析】

（1）求得点，设点，求得线段的中点，由结合平面向量数量积的坐标运算化简可求得点的轨迹方程；

（2）设、，设直线的方程为，利用导数求出曲线在点、的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点的坐标，可得出，再将直线的方程与曲线的方程联立，利用韦达定理可求得的值，进而可求得直线所过定点的坐标.

（1）依题意，设，则弦中点，

由得，即；

（2）设、，

依题意可设抛物线在、两点处的切线交点为，

设直线的方程为，对函数求导得，

所以，抛物线在点处的切线为，即，

抛物线在点处的切线为，即，

联立，解得，所以，

联立直线与曲线的方程得，消去得，

由韦达定理得，解得，

所以，直线的方程为，过定点.