Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求的最小值；

（2）若，讨论的单调性；

（3）若，为在上的最小值，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，在单调递减，在单调递增．当或时在单调递减，，单调递增；当时， 在单调递增；（3）见解析

【解析】

（1）当时，，利用导数法求最值.

（2）根据．求导，分，即和分类讨论求解.

（3）根据（2）的结论，当，在单调递减，在单调递增．得到．要证，只需求得最大值即可.

（1）当时，，．

当时，，当时，．

所以当时，取最小值．

（2）．

，

若，即时，则由得，

当时，；当时，；

在单调递减，在单调递增．

若，则由得或，

构造函数，则．由，得，

在单调递减，在单调递增．，

（当且仅当时等号成立）．

若，，在单调递增．

若或，当时，；当时，；

在单调递减，在，单调递增；

综上：当时，在单调递减，在单调递增．

当或时在单调递减，在，单调递增；

当时， 在单调递增．

（3）证明：由（2）知，若，在单调递减，在单调递增．

．

令．

则，

令，，

所以在上单调递减，，．

存在唯一的，使得，

在单调递增，在单调递减，

故当时，，

又．，

当时，．