题目内容
4．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=1$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，$（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow b$，则向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为（ ）| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{3π}{4}$ |
分析 由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角的余弦值，可得向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角．
解答 解：设向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=1$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，$（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow b$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1．
再根据（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=-2+${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，可得${\overrightarrow{b}}^{2}$=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1•$\sqrt{2}$•cosθ=-1，∴cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=$\frac{3π}{4}$，
故选：D．
点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．
| A． | 若a∥b，a∥α，则b∥α | B． | 若α⊥β，a∥α，则a⊥β | C． | 若α⊥β，a⊥β，则a∥α | D． | 若α∥β，m⊥α，则m⊥β |
已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点A（2，1）．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，$AB=\frac{1}{2}AD$，PA⊥面ABCD，E为PD的中点．
电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：| 非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
| 男 | 30 | 15 | 45 |
| 女 | 45 | 10 | 55 |
| 合计 | 75 | 25 | 100 |
（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X分布列，期望E（X）和方差D（X）．
附：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
| P（K2≥k） | 0.05 | 0.01 |
| k | 3.841 | 6.635 |