题目内容

已知数列{an}满足a1=1，an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)（n∈N*）．
（1）设bn=
1+24an
，求证：{bn-3}成等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式an．
分析：（1）通过已知的关系式，推出bn+1与bn的关系，然后证明{bn-3}成等比数列；
（2）利用（1）求出bn，的表达式，然后转化为数列{an}的通项公式an．
解答：解：（1）由bn=
1+24an
，得an=
b
2
n
-1
24
，
代入an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)，
得
b
2
n+1
-1
24
=
1
16
(1+4×
b
2
n
-1
24
+bn)⇒4
b
2
n+1
=(bn+3)2，
∴2bn+1=bn+3．…（5分）
∴2（bn+1-3）=bn-3，又b1=
1+24×1
=5，则b1-3=2≠0．…（7分）
∴{bn-3}是以2为首项，
1
2
为公比的等比数列．…（8分）
（2）由（1）得bn-3=
1
2n-2
，∴bn=
1
2n-2
+3，…（10分）
则an=
b
2
n
-1
24
=
2
3
×
1
4n
+
1
2n+2
+
1
3
．…（13分）
点评：本题是中档题，考查数列特征的判断，考查逻辑推理能力，计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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