题目内容
19．已知函数f（x）=x（x+k）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x+a，则数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前2017项和为$\frac{2017}{2018}$．分析 f′（x）=2x+k，f′（1）=2+k=3，解得k．可得f（x）=x2+x.$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用裂项求和方法即可得出．
解答 解：f′（x）=2x+k，f′（1）=2+k=3，解得k=1．
∴f（x）=x2+x．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前2017项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故答案为：$\frac{2017}{2018}$．
点评 本题考查了利用导数研究切线方程、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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