Question

3．近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足$P=3-\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a为正常数）；已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为$（4+\frac{20}{p}）$万元/万件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润是大？

Answer 1

分析 （1）根据产品的利润=销售额-产品的成本，建立函数关系；
（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件，对能否取得等号进行分类讨论，即可得出答案．

解答 解：（1）由题意知，y=（4+$\frac{20}{P}$）P-x-（10+2P），
将$P=3-\frac{2}{x+1}$（其中0≤x≤a，a为正常数）代入化简得y=16-$\frac{4}{x+1}$-x（0≤x≤a），
故该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为y=16-$\frac{4}{x+1}$-x（0≤x≤a），
（2）y=17-（$\frac{4}{x+1}$+x+1）≤17-2$\sqrt{\frac{4}{x+1}×（x+1）}$=13，
当且仅当$\frac{4}{x+1}$=x+1，即x=1时，上式取等号，
①当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
②当a＜1时，y=17-（$\frac{4}{x+1}$+x+1）在[0，a]上单调递增，
∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．