Question

8．已知函数f（x）=$\frac{4}{3}$x³-2kx²-x+1有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜1＜x₂），若g（x）=$\frac{2x-k}{{x}^{2}+1}$，且x∈[1，x₂]时，g（x）≥$\frac{k}{2}$恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{3}{4}$，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （$\frac{3}{4}$，1]
• D． {1}

Answer 1

分析 求出f′（x）=4x²-4kx-1，要则有△=（-4k）²+16＞0，f′（1）=4-4k-1＜0，解得k$＞\frac{3}{4}$，且4${{x}_{2}}^{2}-4k{x}_{2}-1=0$，由g′（1）＞0，g′（x₂）=$\frac{-\frac{1}{4}（4{{x}_{2}}^{2}-4k{x}_{2}）+1}{{{（x}_{2}}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{（{{x}_{2}}^{2}+1）^{2}}$＞0，
g（x）=$\frac{2x-k}{{x}^{2}+1}$，x∈[1，x₂]时单调递增，只需$g（1）≥\frac{k}{2}即可$．

解答 解：f′（x）=4x²-4kx-1，要使函数f（x）=$\frac{4}{3}$x³-2kx²-x+1有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜1＜x₂），
则有△=（-4k）²+16＞0，f′（1）=4-4k-1＜0，解得k$＞\frac{3}{4}$，
且4${{x}_{2}}^{2}-4k{x}_{2}-1=0$
g′（x）=$\frac{-{x}^{2}+kx+1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，g′（1）＞0，g′（x₂）=$\frac{-\frac{1}{4}（4{{x}_{2}}^{2}-4k{x}_{2}）+1}{{{（x}_{2}}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{（{{x}_{2}}^{2}+1）^{2}}$＞0，
∴g（x）=$\frac{2x-k}{{x}^{2}+1}$，x∈[1，x₂]时单调递增，
要g（x）≥$\frac{k}{2}$恒成立，只需$g（1）≥\frac{k}{2}即可$，
∴$\frac{3}{4}＜k≤1$，
故选：C

点评 本题考查了利用导数求函数极值、单调性，考查了转化思想，属于中档题．