Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距和短轴长相等，且椭圆C过点（1，-

2

2

）．过点P（0，2）的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当△MON的面积最大时，求直线l 的方程，并求出此时面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于椭圆的焦距和短轴长相等，可得2c=2b，a²=2b²．把点（1，-

2

2

）代入可得：

1

2b2

+

1

2b2

=1，解得b²，即可得出．
（2）设直线l的方程为：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立化为（1+2k²）x²+8kx+6=0，由△＞0，解得k2＞

3

2

．利用根与系数的关系可得：
|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 (1+k2)(4k2-6)

1+2k2

．利用点到直线的距离公式公式可得：原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

．再利用S_△MON=

1

2

|MN|•d=

2 4k2-6

1+2k2

与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆的焦距和短轴长相等，∴2c=2b，∴a²=2b²．
把点（1，-

2

2

）代入可得：

1

2b2

+

1

2b2

=1，解得b²=1，a²=2．
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l的方程为：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=kx+2 x2+2y2=2

，化为（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△=64k²-24（1+2k²）＞0，解得k2＞

3

2

．
∴x₁+x₂=-

8k

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 (1+k2)(4k2-6)

1+2k2

．
原点O到直线l的距离d=

2

1+k2

．
∴S_△MON=

1

2

|MN|•d=

2 4k2-6

1+2k2

=2

1 k2- 3 2 + 4 k2- 3 2 +4

≤

2

2

，当且仅当k²=

7

2

时取等号，满足△＞0．
∴直线l 的方程为y=±

14

2

x+2，此时面积的最大值为

2

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．