题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ 在x=-2处有极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．

解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2ax
由题意知：f′（-2）=4+4a=0，得a=-1，
∴f′（x）=x²+2x，
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），
单调递减区间是（-2，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= $\text{[math]}$ ，
f（-2）= $\text{[math]}$ 为函数f（x）极大值，f（0）=b为极小值．
∵函数f（x）在区间[-3，3]上有且仅有一个零点，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即b的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先对函数f（x）进行求导，又因为在x=-2处有极值，故f'（-2）=0求出a的值
（2）由（1）可求出f（x）的极大值和极小值，根据单调区间和极值的正负可求解．
点评：本题主要考查通过求函数的导数确定函数单调区间的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．

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