Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）验证函数f（x）=ln

1-x

1+x

是否满足这些条件；
（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明；
（3）若f（-

1

2

）=1，试解方程f（x）=-

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据函数的解析式，求出函数的定义域满足条件，进而根据对数的运算性质，计算f（x）+f（y）与f（

x+y

1+xy

）并进行比较，根据对数函数的性质判断当x＜0时，f（x）的符号，可得答案．
（2）令x=y=0，可求f（0）的值，令y=-x，结合函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性，进而根据f（x）-f（y）=f（x）-f（y）及当x＜0时，f（x）＞0，结合函数单调性的定义得到其单调性
（3）根据（2）中函数的奇偶性可将f（-

1

2

）=1化为f（

1

2

）=-1，进而根据f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），将抽象不等式具体化，可得答案．

解答：解：（1）由

x+y

1+xy

＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1），
又f（x）+f（y）=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln（

1-x

1+x

•

1-y

1+y

）
=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f（

x+y

1+xy

）
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0
∴

1-x

1+x

＞1
∴ln

1-x

1+x

＞0
故f（x）=ln

1-x

1+x

满足这些条件．
（2）这样的函数是奇函数．
令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
这样的函数是减函数．
∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）
当-1＜x＜y＜1时，

x-y

1-xy

＜0，由条件知f（

x-y

1-xy

）＞0，即f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）∵f（-

1

2

）=1
∴f（

1

2

）=-1
原方程即为2f（x）=-1
即f（x）+f（x）=f（

2x

1+x2

）=f（

1

2

）
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∴

2x

1+x2

=

1

2

∴x²-4x+1=0
解得x=2±

3

又∵x∈（-1，1）
∴x=2-

3

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，及对数函数的图象和性质，其中熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化是解答的关键．