Question

凸函数的性质定理为：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对D内的任意x₁，x₂，…，x_n都有

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

≤f(

x1+x2+…+xn

n

)．已知函数f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则
（1）求△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值．
（2）判断f（x）=2^x在R上是否为凸函数．

Answer 1

分析：（1）根据凸函数的定义即可求△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值．
（2）根据凸函数的定义进行判断即可．

解答：解：（1）∵f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，A、B、C∈（0，π）且A+B+C=π，
∴

f(A)+f(B)+f(C)

3

≤f(

A+B+C

3

)=f(

π

3

)，
即sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

=

3 3

2

．
∴sinA+sinB+sinC的最大值为

3 3

2

．
（2）∵f（-1）=

1

2

，f（1）=2，而

f(-1)+f(1)

2

=

1 2 +2

2

=

5

4

，而f(

-1+1

2

)=f(0)=1，
∴

f(-1)+f(1)

2

＞f(

-1+1

2

)．
即不满足凸函数的性质定理，故f（x）=2^x不是凸函数．

点评：本题主要考查新定义的理解和应用，正确理解新定义是解决本题的关键．