Question

10．如图，正方形ABCD中，E是AB的中点，CE与以BC为直径的半圆O交于点F，C
（Ⅰ）证明：DF与圆O相切
（Ⅱ）证明：△DCF∽△OBF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OD，通过证明：△FOD≌△COD，得到∠DFO=∠DCO=90°，即可证明DF与圆O相切；
（Ⅱ）通过证明：$\frac{DF}{OF}=\frac{DC}{OB}$，即可证明△DCF∽△OBF．

解答 （Ⅰ）证明：连接OD，
∵正方形ABCD中，E、O分别是AB、BC的中点，
∴EB=OC，
∵BC=CD，∠EBC=∠OCD=90°，
∴△EBC≌△OCD，
∴∠BEC=∠COD，
∵BF⊥EC，
∴∠BEC=∠FBC，
∴∠FBC=∠COD，
∴BF∥OD，
∴∠BFO=∠FOD，
∴∠FPD=∠COD，
∵OF=OC，OD=OD，∴△FOD≌△COD，
∴∠DFO=∠DCO=90°，
∴DF与圆O相切；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠DFO=∠DCO=90°，
∴∠DFO+∠DCO=180°，
∴C，D，F，O四点共圆，
∴∠BOF=∠CDF，
∵DF=DC，
∴$\frac{DF}{OF}=\frac{DC}{OB}$，
∴△DCF∽△OBF．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形全等的证明，考查三角形相似的证明，属于中档题．