题目内容
在数列{an}中，a1=1，an+1=
（n∈N*）．（1）求证：数列{
}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设P=
，求不超过P的最大整数的值．
【答案】分析：（1）由知得
，可证等差数列，结合等差数列的 通项可求
，进而可求
（2）由bn=
=
，考虑利用错位相减求和即可求解
（3）由
=
变形后利用裂项求和可求P=
，从而可求
解答：证明：（1）由知得：
，即
所以数列{
}为首项为1，公差为1的等差数列，…（2分）
∴
从而 
…（4分）
解：（2）∵bn=
=
…（5分）
所以
…①，
=
，…②
由①-②得，
=
=1
∴
． …（9分）
（3）
=
=
=
=
，…（11分）
∴P=
=（1
）+（
）+…+（
）
=
所以，不超过P的最大整数为2013． …（14分）
点评：本题主要考查了利用数列的递推 公式构造等差数列求解通项公式及裂项求和方法的应用，属于数列知识的简单综合
，可证等差数列，结合等差数列的 通项可求，进而可求（2）由bn=
=，考虑利用错位相减求和即可求解（3）由
=变形后利用裂项求和可求P=，从而可求解答：证明：（1）由知得：
，即所以数列{
}为首项为1，公差为1的等差数列，…（2分）∴
从而 …（4分）解：（2）∵bn=
=…（5分）所以
…①，=，…②由①-②得，
=
=1
∴
． …（9分）（3）
==
=
=
，…（11分）∴P=
=（1）+（）+…+（）=
所以，不超过P的最大整数为2013． …（14分）
点评：本题主要考查了利用数列的递推 公式构造等差数列求解通项公式及裂项求和方法的应用，属于数列知识的简单综合
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．