Question

设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且sinAsinC=

3

4

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-

12

5

，1），当

m

•

n

取最小值时，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据正弦定理和等比数列的关系建立方程关系即可求角B的大小；
（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行计算，然后利用三角函数的图象和性质即可判断三角形的性质．

解答：解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则b²=ac．由正弦定理得sin²B=sinAsinC．
又sinAsinC=

3

4

，
所以sin²B=

3

4

．
因为sinB＞0，
则sinB=

3

2

．
因为B∈（0，π），
所以B=

π

3

或

2π

3

．
又b²=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，
故B=

π

3

．
（Ⅱ）因为向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-

12

5

，1），
所以

m

•

n

=-

12

5

cosA+cos2A=-

12

5

cosA+2cos²A-1=2（cosA-

3

5

）²-

43

25

，
所以当cosA=

3

5

时，

m

•

n

取的最小值-

43

25

．
因为

1

2

＜cosA=

3

5

＜

3

2

，
所以

π

6

＜A＜

π

3

．
因为B=

π

3

，
所以A+B＞

π

2

．
从而△ABC为锐角三角形．

点评：本题主要考查三角形的形状的判断，利用正弦定理和三角函数的公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．